起動時に新しくインストールされた eth1 のドライバーを認識するように modprobe を構成する方法は?

initrd に古い e1000e ドライバーがあり、initrd 中にロードされているようです。 initrd を再構築してみると、新しくインストールされたバージョンが取得されるはずです。

あなたはdebianを使っているので、コマンド:sudo update-initramfs -u -k all トリックを行う必要があります。