私はちょうどこれを自分で実験しています。サイトの SSL 証明書に署名したのと同じ発行者によって署名された証明書を既にインポートしている場合にのみ、Firefox はプロンプトを表示するようです。
そのため、CA にサーバー証明書とクライアント証明書の両方に署名してもらい、クライアント証明書を Firefox にインポートします ([設定] ウィンドウから)。次にサイトにアクセスすると、Firefox は、同じ CA によって署名されたクライアント証明書があることに気付きます。サーバーの SSL 証明書を使用するかどうかを尋ねられます。